Спасибо за вопрос! Я сам в сомнениях того, как правильно записывать хроматическую гамму.
Для образца я взял этот источник:
Но, например, "Полет Шмеля" в обработке Рахманинова для фо-но везде записан с диезами, независимо от направления движения нот вверх или вниз (движение вниз преобладает, вверх встречается реже)
Особый вопрос, насколько нужно придерживаться правилу из образца в хроматических триольных упражнениях. Я посчитал так, что если каждая триоль по отдельности идет вниз, то пишу с диезами, если вверх, то с бемолями.
Про разные аппликатуры: я всегда думал, что одна из них основная, а вторая альтернативная, применяемая в основном для трели. Действительно, на струнных до-диез и соль-минор виртуозы интонируют по-разному, но в какой-то старой теме нам, начинающим, не рекомендовали к этому стремиться, для начала хорошо бы просто играть чисто, одинаково и стабильно. И аппликатуры выбирать такие, чтобы они строили во всех тональностях одинаково.