Темперация

[Kerghan]

Темперация - это выравнивание соотношений частот тонов звукоряда.

Интересно, вот никто не задумывался, почему у фортепиано в октаве именно 12 клавишь-тонов, причем именно 7 из них белых, а 5 - черных? А интервалы между белыми клавишами (полутона):
......-2-2-1-2-2-2-1-2-2-1-2-2-2-1-2-2-1-2-2-2-.......... ?

Если кому интересно, могу написать. А то вдруг все все знают, а мои "откровения" окажутся никому ненужными . Но все же, действительно секунды "прозрения" дороже часов и дней "бдений и размышлений" :) .

Меня этот вопрос взволновал однажды, и спросил у своей учительницы музыки, и ответила она мне так честно и доходчиво, что до сих пор хожу безумный.
Но я с радостью бы пообщался на эту тему.

[Elga]

Если честно, я первоначального вопроса не поняла...
А уж что можно по этому поводу сказать такого, чтобы ходить безумным - ну вообще не представляю.
Пообщайтесь на эту тему, а? Раз вы друг друга поняли. А мы почитаем :)

[Kerghan]

Но я с радостью бы пообщался на эту тему.

Ну тогда зарегистрируйся ;)

Хех, хорошо что есть все же интересующиеся люди :). Только сразу хочу предупредить, тут без некоторых знаний математики будет сложновато, но я постараюсь все же подоходчивей объяснить. Приступим-с =).

Издревле люди заметили, что если взять две струны, длины которых относятся как небольшие целые числа, звучат хорошо (консонансы). А если их длины близкие но не равные, то мерзко (диссонансы). Еще заметили, что особенно хорошо звучат струны с отношением длин 2:1, 3:2, чуть хуже - 4:3. Эти отношения сейчас называются соответственно чистая октава, чистая квинта и чистая кварта. Но... сейчас у нас нету еще ни чистых кварт, ни октав, ничего нету. Есть струны. Все, что я сейчас описываю, проделал Пифагор еще в пятисотых годах до нашей эры (кажись..). Он взял соотношения 3:2 как самое маленькое среди целых (Из 2:1 полутонов не получишь).

Взял Пифагор тогда струну и сказал, пусть длина ее будет 1000 [единиц]. Потом взял он еще одну струну, но в полтора раза длиннее, ее длина - 1500. Потом он взял струну в полтора раза длиннее предыдущей - 2250. Но она ему показалась слишком длинной, и в целях экономии решил ее сократить в два раза , тем более звучать она стала также почти - 1125. Долго так делал Пифагор, такой вот ряд у него вышел:

 1.1000
 2.1500
 3.1125
 4.1687,5
 5.1265,6
 6.1898,4
 7.1423,8
 8.1067,8
 9.1601,8
10.1201,3
11.1802,0
12.1351,5
13.1013,6

Числа 1000 и 1013,6 оказались очень близкими, и Пифагор решил на этом остановиться. Вот тут интересный момент: если бы у этого инструмента диапазон был бы больше октавы, то при взятии октавы были бы отчетливо слышны биения частотой 6 Гц, если взять за первый тон частоту 440 Гц (Ля). Наверно как-то еще донастраивали инструмент... Если этот ряд отсортировать, получится:

1000,00
1067,80
1125,00
1201,30
1265,60
1351,50
1423,80
1500,00
1601,80
1687,50
1802,00
1898,40

Таким образом, 12 полутонов у нас образуется вследстивии "квинтового зацикливания". Почему квинтового? Да, у нас нету еще квинт :P, но уже сейчас можна видет, что число 1500 отстоит от 1000 на 7 строчек - верный признак квинтовости :), но еще вернемся к этому :)

Теперь разберемся с нашим фортепиано =). Вообще, если быть ленивым, а не таким трудолюбивым как Пифагор, можно обламаться еще на пятом квинтовом ходе. Ленивые народы пользовались этим, потому что какую последовательность они бы не играли, всегда звучало красиво :). Но были и более трудолюбивые - они делали шесть таких квинтовых ходов и получали то, что сейчас называется диатоника. Итак, смотрим, что у нас выходит после шести ходов:

1000,0
1500,0
1125,0
1687,5
1265,6
1898,4
1423,8

Если отсортировать:

1000,00
1125,00
1265,60
1423,80
1500,00
1687,50
1898,40

Хорошо, диатонику мы получили. Осталось определить интервалы между нотами. Для наглядности, приведем все это дело к единицам - ведь Пифагор мог с равным успехом сказать "Пусть длина этой струны - 1". Получаем:

1
1,125
1,2656
1,4238
1,5
1,6875
1,8984
2

Замечательно... А дальше что? :) Вспоминаем. Что такое октава? Октава - интервал частот, у которого верхняя граница в два раза выше нижней , Если построить несколько нот через октаву, и попытаться провести через них провести линию, мы получим, скорее всего график экспоненты. Что такое экспонента? Вы видели когда-то флейту Пана, желательно хроматическую в один ряд? Вот, вот эта плавная линия и есть экспонента. В общем все ноты лежат на этой самой экспоненте, точнее сказать, почти на функции 2^X, но это не суть важно. Важно то, что для того, чтобы найти расстояние между тонами нам нужно прологарифмировать длины струн (или частоты нот - пофиг). Для наглядности, домножаем полученный логарифм на 12. Итак Y = 12* log(2; X). Получаем

0
2,039100017
4,077858059
6,116958076
7,019550009
9,058650026
11,09740807
12

И так, получаем, ряд 2-2-2-1-2-2-1-... Тоесть такой, как если бы двигались от ноты фа. Но это не важно, мы можем расширять его в обе стороны, двигаясь квинтами вправо или влево, и получаем таким образом весь музыкальный звукоряд. Вот по этому на фортепиано в группки по две и по три клавиши :). Квинты как образуются - сами знаете. Берем кую-нить белую клавишу. Идем влево на 4 и, скорее всего получаем чистую квинту (кроме Си).

Ух... устал =\ ....

В общем все, о чем говорилось выше - это так называемый натуральный строй. Что характерно: имеется чистая квинта, имеется чистая большая секунда ( 9:8 ), может еще чего, не проверял. Зато нету чистой октавы =\.

В конце 17 века пришел дядька по фамилии Веркмейстер и заявил, мол ребятки это все фигня давайте меняйте всю систему, это все фигня . Ну и ввел значит равномерно темперированный строй - частота каждого следующего полутона выше предыдущего в {корень двенадцатой степени из двух} раз. Тоесть теперь все интервалы сохранялись, но чистых нету - кроме октавы.

Такие вот пироги с котятами :). Есть вроде еще компромисные темперации, но я не знаю, как они строятся. Все, на седни хватит :). Что не ясно - спрашивайте. Лажа где - говорите, исправим :).

[Elga]

Грандиозно! Немногие в это "въезжают", из "въезжающих" немногие взялись бы излагать, и не каждый смог бы сделать это с расчетами :)

Несколько уточнений скорее "языкового" характера. Знающему и так понятно, но для кого-то это окажется первым введением в тему :)

если взять две струны, длины которых относятся как небольшие целые числа, звучат хорошо (консонансы)

Т.е. одновременное их звучание будет "хорошим", консонансным.

если бы у этого инструмента диапазон был бы больше октавы, то при взятии октавы были бы отчетливо слышны биения частотой 6 Гц

Насколько я понимаю, древнегреческая музыка была одноголосной, что и давало грекам возможность пользоваться натуральным строем (если они им действительно пользовались).

12 полутонов у нас образуется вследстивии "квинтового зацикливания"

"Зацикливание" появляется только при равномерной темперации. Ты сам показал, что уже первый октавный интервал получается "нечист". В натуральном строе квинтовые ходы ведут не "по кругу", а "по спирали".

Вообще-то я в этой теме не чувствую себя уверенно... Жди Alessandro. Он добрый, но Веркмайстера он тебе не простит )

[Тэндитный Равлык]

Вчерашний гость - это я.

Мне, пожалуй, понадобится время, чтобы всё это переварить. Хотя, в целом, принцип я понимаю и вижу в нём великий философский смысл. Что-то вроде материального подтверждения несоответствия вещей и их атманов...

[Kerghan]

Elga
Хех, ну надеюсь, это кому-то поможет =).

Т.е. одновременное их звучание будет "хорошим", консонансным.

Ок, исправлю.

Насколько я понимаю, древнегреческая музыка была одноголосной, что и давало грекам возможность пользоваться натуральным строем (если они им действительно пользовались).

Дело в том, что этим стоем, на сколько я понимаю, пользовались аж до конца 17 века... Может они все пропорционально "сжимали" чтобы получить чистую октаву - или еще как, я не знаю.... Или чисто на слух донастраивали - "как выйдет" =). Не знаю, инфы нету, надо будет посикать-почитать :).

"Зацикливание" появляется только при равномерной темперации. Ты сам показал, что уже первый октавный интервал получается "нечист". В натуральном строе квинтовые ходы ведут не "по кругу", а "по спирали".

Под зацикливанием подразумевается, что мы придем (почти) к первоначальному тону. Разница между 1000 и 1013,6 составляет 23,4 цента - меньше 1/8 тона. Тоесть если мы продолжим и сделаем еще 12 таких квинтовых ходов, мы получим почти тот же звукоряд но сещенный выше на ~1/8 тона....

Жди Alessandro. Он добрый, но Веркмайстера он тебе не простит )

Да, о Великая Заступница Авторитетов! Что возьмешь с меня злобного циника, скептика и ваще =)...

Ух, вообще когда-то давно, когда я музыкой вообще не занимался, просто немного интересовался, мне казалось вполне очевидным, что частоты нот лежат на экспоненте. Но мне не ясно было, почему все-таки полутонов именно двенадцать - с равным успехом ведь можно было разделить октаву, скажем на логарифмически-равных 10 частей, и радоваться :). А теперь я понимаю, какое страшное преступление совершили, загубив всю натуральность строя . Ладно, это была шутка ;).

Кстати, вот что интересно, древние китайцы испольозвали для настройки точно такой же метод, только юзали не струны и колокола. Был один желтый эталонный императорский колокол, потом выплавляли еще двенадцать других. И кстати, не Веркмейстер "изобрел" равномерную темперацию, а еще в 1584 году китаец Чжу Цзай Юй, потом из Китая это пошло в Европу.
Вот типа

После того как Чжу Цзай Юй опубликовал свое изобретение в 1584 г., то не китайцы, а европейцы прежде всего обратили на него внимание. Это было время, когда налаживался контакт между Китаем и Европой, и, видимо, каким-то образом идея равномерной темперации проникла на Запад. Первое упоминание о ней появилось в неопубликованных бумагах великого математика Симона Стевина (1548-1620). В 1636 г. сведения о равномерной темперации были изданы французским монахом-миноритом, теологом, физиком и музыкальным теоретиком Мареном Мерсенном (1588-164 в его книге под названием “Всеобщая гармония” (“Harmonie Universelle”). К концу века темперированный строй исследовал немецкий музыкальный теоретик и акустик Андреас Веркмейстер (1645-1706), которому часто и приписывается его изобретение, а в 1722 г. публикуется эпохальная работа И.С. Баха “Хорошо темперированный клавир” (“Das Wohl-temperierte Klavier”), в которой были представлены первые музыкальные произведения (прелюдии и фуги) в темперированном строе.

Взято отсюда:
http://science.rsuh.ru/eremeev/china/074.htm

В общем, у китайцев тоже была 12-тоновая музыкальна система, хотя часто они использовали пентатонику.
А вот у персов например - 17 тонов. Эта система образуется вследствии 17 квартовых ходов (тоесть за основу берется отношщение 4:3, а не 3:2). А вот что такого придумали индусы со своими 22 шрути я пока не врубаюсь :).

Тэндитный Равлык

Что-то вроде материального подтверждения несоответствия вещей и их атманов...

Это наверно что-то страшное

[Elga]

Сообщение от Kerghan

Дело в том, что этим стоем, на сколько я понимаю, пользовались аж до конца 17 века...

Отнюдь. Посмотри, например, вот тут:
http://www.midicode.com/tunings/temperament.shtml
Среднетоновая темперация упоминается в документах начала 16 века. Когда появилась - неизвестно. Но была распространена весьма широко.
(ох, в грех ввожу... В общем, ты посмотреть посмотри, но пока что не верь в то, что там написано о ХТК)

надо будет поискать-почитать :).

Найдешь еще - кидай сюда.

работа И.С. Баха “Хорошо темперированный клавир” (“Das Wohl-temperierte Klavier”), в которой были представлены первые музыкальные произведения (прелюдии и фуги) в темперированном строе.

Так. Кто тут злобный скептик? Не верь про Баха. Есть совсем другие мнения на этот счет, не верь сразу в первое попавшееся.

Тэндитный Равлык
Так что же сказала тебе по поводу 12 полутонов учительница музыки?

[Тэндитный Равлык]

Мне поведали то, что у скрипачей и басистов с безладовым инструментом есть великий кайф, но они его не понимают. Что деление математической октавы, существующей в нашем сознании, не соответствует делению физической, существующей в материальном мире. Что медные духовые, бывает, не строят с оркестром, но это не их вина и много иных вещей, которые произвели на меня неизгладимое впечатление.
А средневековый инструмент лютня оттого был просто ужасен в настройке, оттого, что лады у него быле сделаны при помощи верёвочек, обвязывающих гриф.

А правы были те, кто видел пропасть между идеальным миром и материальным.

[Elga]

Сообщение от Тэндитный Равлык

Мне поведали...

Умница какая. Мне в свое время сказали "так надо". И потом по какому-то другому поводу из каких-то случайных книжек я это выкопала. Тоже сильное переживание было, когда поняла, что "в жизни все не так, как на самом деле" :)
Иногда разговор заходит - начинаю рассказывать об этом кому-нибудь из знакомых. Что-то я не так говорю, видимо: народ делает большие глаза и начинает потихоньку пятиться :) Одна выпускница ДМШ (!) спросила: "Так что, ты хочешь сказать, что между звуками фортепиано могут быть еще звуки?"